重积分 第二节 二重积分的计算法 - 知乎
目前所能接触到的方法是：
接下来介绍：① 直角坐标系 ② 极坐标 ③ 二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）
本质思想是通过画图来判断是先对 还是先对 积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）
下面的介绍中，默认
① 有如下闭区域 ：
（先对 后对 ）
②
（先对 后对 ）
（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在 面上的投影即可解决问题）
我们称①、②中的区域分别为 型区域、 型区域。（按先对 中的哪个积分来命名）
若闭区域 既是 型区域，又是 型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）
“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”
注： 在解题时，注意使用 ，区间可以分为 型、 型，既是 型又是 型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：
计算 ，其中区域 是由 围成的闭区域。
显然 既是 型，又是 型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：
① 先对 后对 ：
②先对 后对 ：
此时还需求 ，难免比较麻烦。后面的步骤这里就不写了（或许这样不对，但是想必大家已经意识到了麻烦。）
（这里分部积分或许不是最好的做法，但主要还是为了让大家知到积分次序的重要性）
核心思想：将 写为 ，即极坐标形式求解。
适用题型：不规则的/规则的扇形、圆形...
式子： （积分次序一般先对 后对 ）
这里扯点题外话，为什么 ？（这里不涉及坐标变换的雅可比行列式，我也不太会...）
在二重积分中：积分元为
且
弧 ，当 足够小的时候，我们将 近似为一个矩阵就有：
因为二重积分的积分元(也就是之前分割得到的小矩形)是极其小的面积，因此用面积进行考虑。而这也就是为什么 被称为极坐标系中的面积元素
一些课本上的扩展知识这里就不给太多了，要不然用课本干什么-.-。
这里给一下 的计算过程，其中 为圆心在原点，半径为 的圆周所围成的闭区域。
则 这里涉及到了一个小知识点：由于对 积分未涉及到 ，就可以直接计算
（后面会很常用/大家的老师应该有讲）
依此方法，就可求出工程上常用的反常函数
（这里就不写出过程了，想要了解的可以自行查阅一下课本）
这部分就不给大家介绍了，（我也不太会），貌似这里可以与线性代数相关联而让一些地方变得易懂一些？
直接结束显得太草率了，再给出一个题吧：[题源：《高等数学下》同济版p158 14.(3)]
计算 ，其中 是由圆周 及直线 围成的在第一象限的闭区域
积分区域为扇形状，考虑使用极坐标：
不管是二重积分还是后面的三重积分，甚至多重积分，都对积分的计算有一定的要求，还希望大家能够打好基础。
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